来源：科学大院

前一回说到，爱因斯坦广义相对论把引力场和时空弯曲的几何联系起来，而时空几何又取决于物质分布的情况。那我们用什么来描述弯曲时空的几何呢？

图1 （左）平面上两点距离；（右）球面上两点距离（图片来源：作者绘制）

几何（Geometry）英文原意为测地术[1]，当我们去测量空间中两点之间的距离，对于图1左边的平面，我们只需要一把直尺就可以丈量两点间距离。但要测量右边弯曲球面上的距离，直尺就无能为力了。我们需要一把和球面一样弯曲的尺子，这样在不同空间丈量“距离”的尺在几何上就称为“度规”，即度量规则。

直尺和弯曲的尺子是两种不同的度规，数学上用一个“度规张量”表示。度规是广义相对论的基本几何量和物理量，确定度规，就确定了时空的曲率、距离、夹角、面积等一切几何性质，所以广义相对论的主要研究都集中在确定和研讨时空的度规上[1]，场方程实质上给科学家们提供了一个平台，大家通过不同的物质分布，去解场方程，得到不同的度规，从而了解不同物质分布下时空的几何性质。

例如最早解出来的爱因斯坦场方程精确解史瓦西（Karl Schwarzschild）度规，描述一个静态、球对称的物质分布在其外部造成的时空弯曲；Kerr度规、Reissner-Nordstr m度规和Kerr-Newman度规分别描述了匀速转动球体、静态荷电球和匀速转动荷电球外部的引力场分布，这四种度规也分别对应着四种黑洞[1]。而要描述我们的宇宙，则需要弗里德曼等人提出来的满足宇宙学原理的FLRW度规。

挑战爱因斯坦：动态演变宇宙模型

1、宇宙学原理和FLRW度规

俄罗斯的数学家弗里德曼（Aleksandr Friedmann）在1917年开始利用爱因斯坦的场方程建立自己的宇宙模型。我们知道爱因斯坦场方程描述物质分布下的时空几何，所以一个宇宙学模型一般也分成两部分：（1）时空几何（2）物质分布。要解这个复杂的张量方程，现代常常借助计算机。为了简化方程，弗里德曼对宇宙的几何做了如下假设：宇宙在大尺度上是均匀而且各向同性的。也就是说，宇宙中没有一个地点是特殊的，所有地点都是平权的。这个假设今天被称为“宇宙学原理”。现代大规模星系巡天显示，在数百个Mpc（pc是秒差距，距离单位，1pc=3.26光年，1Mpc=106pc）的大尺度上，宇宙确实是可以看作整体均匀、各向同性的。

图2 2DF巡天得到的星系分布（http://www.2dfgrs.net/）

在宇宙学原理假设之后，弗里德曼立即发现，可以得到很简单的时空几何的度规形式。弗里德曼得到的度规形式后来又由Robertson和Walker各自独立导出，所以这个时空几何的度规今天又称为“FLRW度规（Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker）”，几乎所有的现代宇宙学理论都基于FLRW度规，至少在一级近似是这样[2-3]。

2、宇宙并非静态，而是随时间演变的

与爱因斯坦开始就设定一个静态宇宙的假设，然后通过添加宇宙学常数来使他的理论符合预期的做法不同，弗里德曼直接从不含宇宙学常数的爱因斯坦场方程出发，看看采用不同的密度参数的值，可能产生的宇宙模型。弗里德曼的模型只取决于三个参数：

H：哈勃参数，反映宇宙膨胀的速度

Ω0：物质密度参数，等于宇宙物质密度和临界密度的比

Λ：宇宙学常数

图3 （上）宇宙学原理假设下，不同的物质密度决定了不同的时空几何；（下）不同密度参数下宇宙的相对尺度随时间的动态演化（膨胀或收缩）[4]

弗里德曼1922年的文章中，他将宇宙学常数设为0，这样就没有力量来抵消引力，宇宙模型就会变成动态演化的。弗里德曼指出宇宙的演化命运可能有三种，到底是哪一种取决于宇宙开始时膨胀有多快以及包含的物质有多少。如图3（上）：

第一种可能性，如果宇宙物质密度比较大，Ω0 1 ，引力的拉拽最终会让宇宙的原始膨胀停止，然后坍缩直至崩溃；时间和空间则是有限的，宇宙曲率为正，像个球面。如果有个小虫停留在表面上，会发现平行线总会相交，三角形内角和大于180度。我们称之为“闭合”的宇宙。

第二种可能性，宇宙密度太低，Ω0 1，引力无法克服初始的膨胀，最终宇宙将膨胀到永远，宇宙的命运是大冻结；这种情况的宇宙曲率是负的，像个马鞍的表面，如果有个小虫停留在表面上，会发现平行线不相交，三角形内角和小于180度。这种宇宙的时间和空间都是无限的，我们称之为“开放”宇宙。

第三种可能性取一个折中的密度，Ω0=1，也就是宇宙密度等于临界密度。这种情况下宇宙仍然无限膨胀，既不会坍缩到一个点，也不会膨胀到无穷大。我们称之为“平坦”的宇宙。

图3下边的图片显示了宇宙从一个非常小的体积开始膨胀（后来称之为大爆炸），具有初始膨胀速度，随后在引力的吸引或引力常数的负压下，宇宙的大小随时间不断演化的情况。底部橙色曲线，表示一个高密度宇宙，最终减速坍缩。中间绿色曲线，表示一个平坦的临界密度宇宙，膨胀率不断减慢，曲线变得越来越水平。中间蓝色曲线显示了一个开放的低密度宇宙，它的膨胀也在减慢，但没有临界密度宇宙那么大。顶部红色曲线显示了宇宙学常数不为0的宇宙，宇宙学常数项是所谓的“暗能量”的主要候选，正是暗能量导致宇宙的膨胀加速。现在越来越多的证据表明我们的宇宙正沿着红色曲线前进。

关于宇宙的模型很多，但正确的只有一个，能够反映现实的那个。爱因斯坦认为自己是正确的，他写了一封投诉信到弗里德曼发表文章的期刊，质疑弗里德曼的工作，并认为他的结论“很难有什么物理意义”。被爱因斯坦这样世界上最优秀的物理学界大佬质疑，让弗里德曼的声誉瞬间跌入了深渊，虽然弗里德曼仍然坚持自己的想法，但他没有敌过多舛的命运。1925年，弗里德曼还没来得及获得同行的承认，便染上了严重的疾病，在精神错乱中去世。他关于宇宙演变的理论，在很长时间里被埋没了。（另一位大佬史瓦西也是在解出爱因斯坦场方程的史瓦西解后几个月染病去世，该说什么好呢？还能让人好好解方程吗？）

弗里德曼对宇宙学最革命性的贡献是，他指出宇宙是一个在宇宙尺度上不断演化的过程，而不是整体上保持静止直到永远。他的宇宙方程，在今天印在了教科书上，作为宇宙学学生的“标准宇宙学的基本方程”。他超越了他的那个时代，那个时候天文学家还没有找到支持膨胀宇宙的天文证据。多年之后，比利时的牧师也是宇宙学家勒梅特（Lemaitre Georges）得到了和弗里德曼类似的结果，但同样遭到了爱因斯坦的反对，他对勒梅特说：“你的数学是正确的，但你的物理是可憎的。”爱因斯坦错过了两次接受膨胀大爆炸宇宙的机会，后来他自己也感叹到：“为了惩罚我对权威的蔑视，命运让我自己成了权威。”爱因斯坦固执地坚持静态宇宙的解，一直到哈勃那个伟大定律的发现。

图4 （左）弗里德曼；（中）爱因斯坦；（右）勒梅特

宇宙膨胀（大爆炸）模型的三大证据

1、哈勃定律：

我们很多人都有过这样的体验，当我们在铁路旁玩耍，火车呼啸而来时，会发现火车的汽笛声比平时尖锐，而当火车远去时，汽笛声又变得低沉。这是因为当波源一边振动一边朝我们奔过来时，我们一秒钟内接受到的波的数量比波源不动的时候增加了，实际效果就是感受波的“频率”变高了。而波源远去的时候正好相反，我们会感觉声音频率变低了。这种效应就称之为“多普勒效应”。

光线同样也会因为光源的运动产生多普勒效应，因为红光波长比蓝光长，我们把长波端称为“红端”，短波端称为“蓝端”。当光源朝我们移动时，我们看到光频率变高，波长变短，这就叫做 “蓝移”。光源远离我们时，频率变低，波长变长，称为“红移”。假如光波静止时的波长是λ0，我们实际接收到的光波长是λ，那么红移可以用一个具体的数量z来表示：z=（λ-λ0）/λ0。波源朝向或远离观测者的速度越快，红移、蓝移数值就越大，因此，交通警察和天文学家都喜欢利用多普勒效应来测速度。

图5 多普勒效应示意图

1928年，哈勃（Edwin Powell Hubble）在荷兰和德西特会面（Willem de Sitter），德西特特别关注当时星系观测到的大红移现象。为此他自己解爱因斯坦方程，建立了一个没有物质只有宇宙学常数的空宇宙模型——de Sitter宇宙模型。因为物质密度很小，德西特觉得可以忽略，这个宇宙在宇宙学常数推动下以指数增长。在德西特看来，宇宙就好像一个气球，星系像是贴在气球表面上。如图6所示，随着宇宙空间网格膨胀，网格点上的星系或人会逐渐远离，越远的移动速度越快，他们发出的光到达我们时红移也越大。我们看到其它星系远离我们，并不是我们在宇宙中有特殊的位置，而是每个人都会看到别人在远离。

图6 （上）德西特认为星系红移是因为宇宙膨胀，就好像气球表面的点；（下）空间膨胀示意图

德西特希望哈勃能够在观测中找到上述效应，如果星系距离越远，由于退行速度更快，所以红移会更大。这里要注意区分，此处的星系红移是由于星系和地球之间的空间膨胀引起的，并不是星系自己在迅速飞离地球，膨胀的是空间背景，而不是背景上的格点，这种空间膨胀产生的速度，我们称之为“退行速度（Recession Velocity）”，而星系、小张小李等相对网格运动，产生的速度，称为“本动速度（Peculiar Velocity）”。退行速度、本动速度产生的红移效应在成因上是有本质区别的。因为空间膨胀造成的红移，我们称之为“宇宙学红移”。

随后，哈勃利用威尔逊山的2.5米胡克望远镜观测了24个星系，得到了他一生中最伟大的发现。如同预计那样，星系越远离地球退行速度越快，随距离成正比，距离d和退行速度V退行的关系为 V退行=Hd。这个关系称之为“哈勃定律”。退行速度除以距离是一个常数，这个常数被称为哈勃常数H，描绘宇宙膨胀的速度，是宇宙学中最重要的常数[2]。

为什么会有这样的正比关系？我们可以参看图6（下）的一个大概的示意图，宇宙膨胀以后，小张和小李的距离增加了1米，而小张和更远的小王的距离，增加了2米，在小张看来，小王比小李更快地远离自己，远离的速度和距离成正比。哈勃常数实际上并不是一个“常数”，它受宇宙密度参数的影响，在不同时期值也不同，所以我们也称它为“哈勃参数”。

图7 （上）不同距离的星系光谱比较，从上往下距离增大。可以看到标识为“KH”的钙谱线越来越往右边（红色）移动。（下）哈勃在1929年发表的星系速度（纵坐标）与距离（横坐标）关系图[2]。

我们可以利用哈勃关系，从观测到的红移，去估计星系的距离。但这就要求先用“红移无关”的方法先精确测出一批星系的距离，定出哈勃常数。历史上哈勃常数不断修正，一开始哈勃测出来的H=500（单位是kms-1Mpc-1），1936年哈勃考虑了星际消光，改为526。现代，H的测定多样化和系统化，最近综合PLANK卫星、重子声波振荡和超新星数据得到的哈勃常数为H=67.74 ± 0.46 kms-1Mpc-1 [5]。

1931年，爱因斯坦到威尔逊山拜访哈勃，他终于承认了宇宙确实在膨胀，并把宇宙学常数称为自己“最大的失误”。哈勃不知不觉发现了宇宙膨胀理论的第一个证据，从此，大爆炸模型再也不仅仅是个理论。

哈勃定律的第一个含义是，我们已知星系的退行速度，可以求它的距离，或者反过来已知距离求退行速度。而第二个含义是——我们可以用哈勃定理估计宇宙的年龄。

假如宇宙中所有的物质最开始聚集在一起，哈勃得到的哈勃常数是500 kms-1Mpc-1，也就是说，在1Mpc远处的星系，退行速度是500 kms-1。假如宇宙的膨胀速度不变，我们根据哈勃定律，退行速度 = 哈勃常数×距离，而

正好是哈勃常数的倒数，这个时间代表的宇宙年龄称为“哈勃年龄”。我们可以算出星系用了多长时间从聚集在一起到离开1Mpc距离。我们用哈勃最初的常数得到：

这个结果比当时测到的地球年龄恒星年龄小得多，让宇宙学家们头痛不已。用今天测到的哈勃常数来估计，今天测到的哈勃常数大约是70 kms-1，我们在19亿年上再乘以500/70，得到哈勃年龄是136亿年，这就很接近了。

精确的宇宙年龄需要利用弗里德曼的宇宙演化模型结合现在观测得到的哈勃常数和宇宙密度参数来计算，最近得到的宇宙年龄估计值是13.799 ± 0.021 Gyr[5]，大约138亿年。

哈勃定律中，哈勃距离、宇宙学视界（也叫粒子世界、可观测宇宙）这几个概念很容易混淆不清，我们现在来理一理。

哈勃距离

在哈勃定律中，退行速度 = 哈勃常数×距离，如果距离足够大，使得该处的退行速度为光速c，我们就称这个距离为“哈勃距离”或“哈勃半径”。今天的哈勃距离可以用今天的哈勃常数得到（为何强调“今天”，是由于宇宙膨胀，哈勃参数和哈勃距离都在随时间改变）：

按照目前的观测，宇宙在加速膨胀，在哈勃距离之外的星系，它们今天发出的光，我们永远也无法接收到了，但是它们过去发出来的光，我们还是能看到的。

宇宙学视界（粒子世界、可观测宇宙）

宇宙学视界（Cosmological Horizon）、粒子视界（Particle Horizon）、可观测宇宙（Observable Universe）这三个名词是同一个概念，它限定了过去的事件可被观测到的距离，定义了过去和现在有因果律联系的区域。具体定义是：有一束光从宇宙诞生那一刻发出，在今天正好被我们观测到，这个时间范围内光走过的距离，我们用它作为半径，以观测者为中心做一个球，这个球的内部就是可观测宇宙，球面就是粒子视界。具体的计算和前面的宇宙年龄一样，需要利用弗里德曼模型，然后结合现在观测到的哈勃常数、宇宙学密度参数计算。根据最近观测的结果，我们现在的可观测宇宙半径约为470亿光年。而且，随着宇宙的膨胀，可观测宇宙的范围还在不断扩大，越来越多的星系不断进入我们宇宙的可见部分。

图8 （上）可观测宇宙（图：Andrew Z。 Colvin）（下）光线在膨胀宇宙中传播示意动图

有人会提出疑问：“既然宇宙中没有什么速度可以超过光速，而宇宙的年龄是138亿年，那光最多也只能走过138亿光年的距离，为何是470亿年呢？”这是因为提问者是用静态宇宙的思维，实际上宇宙在不断膨胀（图8），光发出时星系离我们要近得多，而138亿年后当时发光的星系已经随宇宙膨胀跑到470亿光年之外。另外，空间的膨胀，并不违反狭义相对论，空间膨胀是可以超过光速的。而星系和物质相对于空间网格的本动速度，才要受到光速为极限速度的制约。

2、宇宙的原初核合成

天然的化学元素有90多种，它们在自然界中含量差别很大，各种元素的质量百分比，称为元素的丰度。人们在观测从地球到恒星、星系的化学组成后，发现宇宙中不同地方的同类天体化学组成很相近（表1）。总的来说宇宙中最丰富的的元素是氢，占原子总数93%和质量的76%。其次是氦，占原子总数7%和质量的23%。仅氢氦几乎就占了原子数的100%和质量的99%[2]。

表1 典型星系的氦丰度[2]

宇宙中各处物质元素组成上的统一性，说明宇宙中的元素有一个统一的起源和演化方式。20世纪40年代，伽莫夫（George Gamow）和他的学生阿尔法（Ralph Alpher）对宇宙中元素的来源产生了兴趣。他认为，在宇宙诞生之初温度非常高，就像一个各种基本粒子的大熔炉，随着宇宙膨胀温度降低，中子、质子数量开始稳定，相互碰撞合成2H（氘），进一步合成为3He（氦3）和3H（氚），接下来形成稳定的4He（氦4）。伽莫夫雄心勃勃地认为，4He形成以后，会进一步通过中子俘获和电子衰变过程，产生出化学元素表上的所有元素。通过计算，伽莫夫得到大爆炸产生的宇宙氦丰度为25%。这个理论值和观测结果符合得非常好，是大爆炸宇宙模型最重要的预言之一，而其它任何宇宙学模型都不能给出这样一个和观测相符的氦丰度预言。

但是，在计算中伽莫夫发现了问题，他的理论对非常轻的元素很有效，但是，自然界不存在原子量为5和8的稳定元素，这样就无法通过它们作为桥梁生成更重元素。例如我们实验中可以用中子轰击4He得到5He，但是5He很快衰变回到4He。可以生成8Be，但会不稳定裂变为两个4He。这意味着大爆炸只能生成从氢到氦的轻元素，然后就结束了。实际上，以氦为基础进一步生成的是7Li，它的丰度也与目前观测结果相符。但是7Li丰度太低，无法产生进一步核聚变。当宇宙膨胀温度继续下降，粒子动能不足以克服原子核的库伦势垒，热核反应就停止了。所以，伽莫夫一开始认为大爆炸能生成宇宙中所有元素的设想失败了。

当时，另外一个伟大科学家霍伊尔（Fred Hoyle）坚决反对通过核合成提供的大爆炸的证据。他提出了自己的“稳恒态宇宙模型”来抗衡大爆炸理论，并和同事在20世纪40到50年代开创了恒星核合成理论，展示了宇宙中的元素从氢一直到铁，如何在恒星中合成出来。但是他们也同样遇到了和伽莫夫他们同样的问题——5He和8Be不稳定。从4He生成下一步12C有一个可能性是2 4He →8Be，然后 4He+8Be →12C。但是8Be存在时间不超过10-15秒，且氦铍聚变需要很长的时间窗口，反应很难进行。

后来，霍伊尔认为“既然以碳组成的霍伊尔存在，那这个反应必定存在”。他猜测12C有一个激发态[6-7]，比普通12C能量高7.65Mev，如果这样激发态的12C存在，以上反应即可迅速进行。霍伊尔找到加州理工凯洛格核实验室的福勒让他帮忙实验寻找高7.65Mev的激发态12C，福勒的小组用了10天时间，发现了12C的一种新的激发态，正是7.65Mev，和霍伊尔说的完全一样。这样霍伊尔就解决了核合成的问题，他证明了碳是在2亿摄氏度下，由24He →8Be，然后 4He+8Be →12C反应合成。这个过程虽然很缓慢，但数十亿颗恒星经过数十亿年的演化，足以产生大量的碳。

图9 （左）伽莫夫；（右）霍伊尔

霍伊尔不相信大爆炸理论，1949年有一次BBC广播公司邀请伽莫夫和霍伊尔就宇宙起源问题进行辩论。霍伊尔在广播间不断抨击伽莫夫的理论，他说“这个大爆炸（Big Bang）的想法在我看来并不满意……”从此，宇宙膨胀演变的理论有了新的名字——大爆炸，而讽刺的是这个名字是它最大的反对者霍伊尔给起的。实际上，虽然霍伊尔解决了核合成的问题，但他预言的氦只能在恒星中产生，这样含量远低于实际观测的，而且只能在恒星内核周围才能发现它。而如前所述，宇宙中的氦含量非常丰富，接近25%，而且分布均匀，氦丰度只有伽莫夫的大爆炸理论能够正确解释。

今天我们知道，伽莫夫和霍伊尔都有对的地方。宇宙中物质元素的来源是这样的：

（1）氦、锂、铍、硼这些轻元素，只能来自宇宙早期大爆炸的核合成；

（2）到铁族为止的重元素，由恒星内部核反应生成；

（3）重于铁的元素，主要在超新星爆炸过程中形成。[2，3]

图10 轻元素丰度与重子密度的关系[4]

用宇宙学标准模型计算出来的轻元素丰度，与宇宙中重子密度密切相关。图10中横坐标是重子密度，纵坐标是相应的重子密度下产生的各轻元素丰度，红色竖条区域表示观测到的轻元素丰度允许重子密度变化的范围。宇宙核合成理论和观测结果高度的相符，在天体物理学中是罕见的，有力地证实了大爆炸宇宙模型的正确性。

3。宇宙微波背景

1948年，伽莫夫和阿尔法（Ralph Alpher）、赫尔曼（Robert Herman）提出了关于宇宙微波背景辐射的假设：宇宙大爆炸早期，温度很高，整个宇宙电离成了一锅等离子汤，只有自由电子和原子核，没有原子。而光线在这锅汤中传播时，没有多远就被散射、吸收或发射，无法传播很远，所以整个宇宙看起来就像一团迷雾一样不透明。这种多次散射产生了“热”的“黑体”光谱。宇宙膨胀到约38万年时，温度降到3000K，这个温度下电子和原子核终于可以形成原子，光线不再被散射或吸收，一瞬间宇宙变得透明了，宇宙产生了第一束光。这个时期发出的光线一直弥漫在宇宙中，随着宇宙膨胀，光线的波长也被拉长，到现在正好在微波波段，表现为空间背景上的各向同性微波辐射，并且这个辐射具有黑体谱。

当时伽莫夫他们计算出宇宙微波背景辐射的温度约为5K，这么低的温度在那个时代没有任何仪器能够测量。在很长的时间里，他们的预言被大家忽略了。一直到将近20年后，1964年，美国的两位工程师彭齐亚斯（Arno Penzias）和威尔逊（Robert Wilson）测试他们新设计的号角天线，当他们测试来自天空的噪声时，发现有一个3.5k的微波噪声无论如何都不能扣除。在认真检查了天线，并清除了天线上的“白色涂层”（俗称鸟粪）后，噪声仍然存在。这个来历不明的辐射与天线的指向无关，也和地球、太阳运动无关，并具有黑体辐射特征，温度为3.5k。彭齐亚斯和威尔逊不知道，他们偶然发现了1948年伽莫夫预言的微波背景辐射。因为这个发现，他俩获得了1965年的诺贝尔奖。

至此，关于宇宙来自大爆炸还是永恒静态的争论告一段落了，微波背景辐射的发现是至关重要的。霍伊尔1965年在《自然》杂志上正式承认失败，放弃了稳恒态理论，他被微波背景辐射和宇宙中富含氦这两个观测结果击败了。

鉴于微波背景辐射的极端重要性，NASA在1989年发射了COBE卫星对其进行专门研究。1990年美国天文学会的一次会议上，当COBE团队的领导者马瑟（John Mathe）最后一个上场，向人们展示COBE的结果时，会场骚动起来，很快全场集体起立，爆发出了经久不息的掌声。几乎所有人都同意温度为2.735K的微波背景辐射确实存在（此时此刻，远在天堂的弗里德曼大概可以安息了吧）。COBE团队的马瑟和斯穆特（George Smoot）获得了2006年诺贝尔奖，诺贝尔奖评委会的公报说，他们的工作使宇宙学进入了“精确研究”时代。在COBE的基础上，WMAP、PLANK卫星相继升空，对宇宙微波背景辐射进行更精确的测量。微波背景辐射为宇宙大爆炸理论提供了最有力的支持。

图11 （上）宇宙微波背景的探测历史[4]；（下）COBE卫星亮度分布谱，特性与2.735K黑体谱惊人地相符，图中方块为所测数据点，曲线是该温度的黑体辐射理论曲线[8]。

回顾奥尔勃斯佯谬

在宇宙大爆炸的背景下，我们再回头审视奥尔勃斯佯谬，就可以给出合理的解答了。为什么夜空是黑的？[2，3]

1：可观测宇宙不是无限的，而是具有有限年龄，在过去某时刻发生了大爆炸。所以到达我们的光只可能来自最大的视界，流量是有限的；：

2：恒星仅仅在一段有限时间内发光，所以来自最远的恒星光流量将减小一个因子； ：

3：宇宙膨胀导致大红移时所有频率光都会有衰减。

作为大爆炸的遗迹——2.7k的宇宙微波背景辐射，不管白天还是黑夜始终存在，在这个意义上，奥尔勃斯是对的。